Anualidades, primas y reservas

Con las anualidades vitalicias, las primas y las reservas se cierra el ciclo del seguro de vida: cuánto cobrar y cuánto reservar para cumplir la promesa.

Anualidades vitalicias

Anualidad vitalicia anticipada (paga 1 al inicio de cada año mientras la persona viva):

$$ \ddot a_x=\sum_{k=0}^{\infty} v^{k}\,{}_kp_x=\frac{N_x}{D_x}, \qquad a_x=\ddot a_x-1 $$

Relación fundamental entre seguro y anualidad:

$$ \boxed{\,A_x = 1 - d\,\ddot a_x\,} $$

Primas netas: principio de equivalencia

La prima nivelada anual se fija igualando, al inicio, el VPA de los beneficios con el de las primas:

$$ P_x=\frac{A_x}{\ddot a_x} $$

Reservas netas

La reserva prospectiva a los \(k\) años es el VPA de beneficios futuros menos el de primas futuras:

$$ {}_kV_x = A_{x+k}-P_x\,\ddot a_{x+k} $$

Teoría del riesgo (modelo colectivo)

Para una cartera, la pérdida agregada \(S\) suma \(N\) siniestros de cuantía \(X_i\):

$$ S=\sum_{i=1}^{N}X_i, \qquad E[S]=E[N]\,E[X] $$ $$ \operatorname{Var}(S)=E[N]\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(N)\,E[X]^2 $$

La probabilidad de ruina mide que el capital \(U(t)\) caiga por debajo de cero:

$$ \psi(u)=P\!\left(\inf_{t\ge 0}U(t)<0 \;\middle|\; U(0)=u\right) $$