Matemáticas financieras

Las matemáticas financieras (o teoría del interés) estudian el valor del dinero en el tiempo: son la base para descontar cualquier flujo actuarial a valor presente.

Interés, descuento y fuerza de interés

Con una tasa efectiva anual \(i\), el factor de descuento y la fuerza de interés son:

$$ v=\frac{1}{1+i}, \qquad 1+i=e^{\delta}, \qquad \delta=\ln(1+i) $$

El valor futuro y presente de un capital \(C\) a \(n\) años:

$$ VF = C\,(1+i)^{n}, \qquad VP = C\,v^{n} $$

La equivalencia entre una tasa nominal \(i^{(m)}\) convertible \(m\) veces al año y la efectiva anual:

$$ \left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{m} = 1+i $$

Anualidades

Una anualidad es una sucesión de pagos. Para \(n\) pagos unitarios, vencida (al final de cada periodo) y anticipada (al inicio):

$$ a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^{n}}{i}, \qquad \ddot a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^{n}}{d}, \qquad d=iv=1-v $$

Relación entre ambas y perpetuidades:

$$ \ddot a_{\overline{n}|}=(1+i)\,a_{\overline{n}|}, \qquad a_{\overline{\infty}|}=\frac{1}{i}, \qquad \ddot a_{\overline{\infty}|}=\frac{1}{d} $$